Fourier级数
以2l为周期的f(x),其在[−l,l]可积分,那么2a0+∑n=1∞(ancoslnπx+bnsinlnπx)就是f(x)的Fourier级数,也记为f(x)∼2a0+∑n=1∞(ancoslnπx+bnsinlnπx).其中,an=l1∫−llf(x)coslnπxdx,bn=l1∫−llf(x)sinlnπxdx.
定义中的“∼”就意味着在计算f(x)时可以直接转化为求它的Fourier级数和;但事实上f(x)一般不会等于其Fourier级数。特别地,如果f(x)的周期是2π,那么f(x)∼2a0+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx),其中{anbn=π1∫−ππf(x)cosnxdx=π1∫−ππf(x)sinnxdx.
看似an和bn的式子比较复杂,但我们都知道{sinnπcosnπ=0,=(−1)n(n∈Z),cos2nπ={0(−1)k,n=2k+1,n=2k(k∈Z)和sin2nπ={0(−1)k,n=2k,n=2k+1,因此多数情况下计算an,bn并非难事。
e.g.1.1 f(x)=πx+x2(−π<x<π)的Fourier级数展开式是2a0+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx),求b3.
Solution 所求为
b3=π1∫−ππf(x)sin3xdx=π1∫−ππ(πx+x2)sin3xdx=π1∫−πππxsin3xdx=2∫0πxsin3xdx分部积分−32xcos3x+92sin3x0π=32π.
另一方面,如果f(x)是周期为2l的偶函数(或者定义域是[0,l]但可以延拓成这样的偶函数),那么f(x)的Fourier级数会是2a0+∑n=1∞ancoslnπx;同理,如果f(x)是周期为2l的奇函数(或定义域是[0,l]但可以延拓成这样的奇函数),那么f(x)的Fourier级数会是2a0+∑n=1∞bnsinlnπx.
Dirichlet收敛定理
如果极值点有限的f(x)连续或只有有限个第一类间断点,则f(x)的Fourier级数s(x)=2a0+∑n=1∞(ancoslnπx+bnsinlnπx)就是f(x)的和函数。其中,
s(x)=⎩⎨⎧f(x)2f(x+)+f(x−)2f(−l+)+f(l−),f(x)连续于x,x是第一类间断点,x=±l.
e.g.1.2 f(x)={x2−2x,0≤x≤21,21<x<1,S(x)=2a0+∑n=1∞ancosnπx(−∞<x<+∞),其中an=2∫01f(x)cosnπxdx(n∈N+),求S(−25).
Solution 将S(x)扩展为定义在(−∞,+∞)、周期为2的偶函数,那么所求为
S(−25)=S(−21)=S(21)=2f(21+)+f(21−)=21+21=43.
e.g.1.3 f(x)周期为2且在(−1,1)定义为f(x)={2x3,−1<x≤0,0<x≤1,求f(x)的傅里叶级数在x=1处的极限。
Solution 所求为
2f(−1+)+f(1−)=23.